摘要： 針對結構在xy平面內具有無限周期性而在z方向上具有有限尺寸的特性，提出了平面無限板類聲子晶體的概念。根據結構特征，將平面波展開法和有限元法的基本理論相結合從而建立了平面波展開有限元結合法。通過與借助于有限元軟件計算求得的能帶結構進行對比，從不同材料組分、不同散射體形狀以及不同組元數等多角度檢驗了該方法對平面無限板類聲子晶體結構的精確性和適用性。為工程上減振降噪領域板類聲子晶體的應用提供了全新有效的理論研究方法。 　　關鍵詞： 平面無限板類聲子晶體; 能帶結構; 精確性; 適用性; 平面波展開有限元結合法 　　中圖分類號： O735; O481.1 文獻標志碼： A 文章編號： 1004-4523(2019)05-0793-08 　　DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2019.05.007 　　《電子科技大學學報》(雙月刊)創刊于1959年,是全國最早的電子類期刊之一，本學報是電子科技大學主辦的由國家教育部主管的自然科學類期刊，是集創造性、學術性、科學性為一體的電子綜合性刊物。 　　引 言 　　近幾十年來，被稱之為聲子晶體的人造周期彈性復合結構已經吸引了國內外學者的廣泛興趣[1-3]。這類聲子晶體結構以其獨有的聲/彈性帶隙特性在濾波器、聲波導以及傳感器等應用方面存在很多潛在的可能[4-6]。在現有的研究當中，主要存在Bragg散射[7-8]和局域共振[9-10]這兩種帶隙形成機制，并且前者帶隙所對應的頻段要比后者高兩個數量級[9]。近幾年來，將聲子晶體的設計思想引入到一些基本彈性結構中所構成的聲子晶體桿、聲子晶體梁以及聲子晶體板等結構也獲得了一批學者的關注和研究[11-21]。 　　總的來說，不論是帶隙特性還是應用性研究，均離不開行之有效的能帶結構計算方法。目前比較成熟的方法有傳遞矩陣法[22-23]、有限差分法[24-25]、多重散射法[26-27]、集中質量法[28-29]、平面波展開法[30-33]和有限元法[34-35]。傳遞矩陣法一般先建立單個周期的傳遞矩陣，繼而結合周期邊界條件關聯相鄰層參數，從而求得精確解。具有計算量小，可以獲取傳輸特性的解析解等優點，但只適用于一維聲子晶體。多重散射法具有收斂性好、適用性強、揭示帶隙機理等優點，但對散射體的形狀太過依賴，只能計算形狀為圓柱或球體的聲子晶體。有限差分法可以有效計算不同種類聲子晶體的能帶結構，但在三維問題方面存在計算量過于龐大、穩定性差和數值頻散等問題。平面波展開法是聲子晶體研究中最常用的算法之一，可以很好地應用于只包含固體或流體的聲子晶體。收斂性是平面波展開法最常被提到的問題，且無法用于精確計算由固體和流體材料組合而成的聲子晶體。集中質量法通過將連續介質中的密度集中到有限個節點上從而將連續系統問題轉化為相應離散問題，具有收斂性不受材料彈性常數影響且可以處理任意單元結構等優點，但它只適用于固/固聲子晶體。近年來，隨著COMSOL Multiphysics，ATILA等可以設置Floquet周期邊界條件的商業軟件的出現和發展，有限元法在聲子晶體相關研究中的應用越來越廣泛[13，16-19]。有限元法收斂性好、通用性強，可以被用于計算各種類型聲子晶體以及有缺陷的聲子晶體的能帶結構。但該方法一般要對較多Bloch波矢逐一進行計算，在處理稍微復雜的聲子晶體結構時整個過程計算效率并不高，而且囿于現有軟件，計算效率也很難提高。對于本文提出的平面無限板類聲子晶體結構，礙于其結構特性，上述方法中除有限元法外其余方法均不適用。 　　對于研究已較為成熟的傳統聲子晶體，不論一維、二維還是三維，其尺寸在空間三個方向上均是理想化的無限大。而實際工程中很多結構，往往在其中兩個方向上尺寸很大且具有周期性，而在另外一個方向上尺寸相對較小且并無周期性。本文將這種類型的周期彈性復合結構稱之為平面無限板類聲子晶體結構，其與傳統聲子晶體結構的區別在于并非所有方向的尺寸均無限大。根據結構在xy平面內具有的無限周期性以及在z方向上具有的有限性，筆者將空間傅里葉級數展開和有限單元劃分進行耦合來描述空間位移場，從而建立平面波展開有限元結合法并用于能帶結構計算。為了驗證該方法的適用性，本文分別從不同材料組分、不同散射體形狀以及不同組元數這三個方面加以比較說明。此外，為了驗證該方法的準確性，所有計算結果均與有限元法進行對比。有限元法的有效實施借助于商業軟件COMSOL Multiphysics。 　　1 模型以及公式化 　　平面無限板類聲子晶體的結構示意圖如圖1(a)所示。從圖中可以看出，該類聲子晶體結構是通過將基體材料沿著周期方向周期性挖孔并填充另外一種材料而構成。該聲子晶體沿著非周期方向的長度是H，沿著周期方向的晶格常量為a，具體晶胞如圖1(b)所示。 　　根據變分原理以及參照無限桿類聲子晶體結構的推導過程[37]，耦合倒格矢空間下的系統動力學平衡方程可以寫為K-ω2Mδ=0 　　(14)式中 K=∑eKe和M=∑eMe分別表示由單元剛度矩陣和單元質量矩陣組裝而成的總剛度矩陣和總質量矩陣，其中僅包含在z方向的單元劃分，而在xy平面內是空間傅里葉級數的展開形式。δ=∑eδe則表示總的節點位移矢量。 　　方程(14)即典型的關于ω2的廣義特征值問題。對于每一給定的波矢k，通過求解廣義特征值可得到相對應的一系列特征頻率。通過遍歷所有的不可約Brillouin區邊界上的波矢，最終得到該平面無限板類聲子晶體的能帶結構。 　　2 數值結果和分析 　　本節分別從不同材料組分、不同散射體形狀以及不同組元數呈現了3組算例(如圖2所示)。為了檢驗該方法的準確性，每組算例計算得到的能帶結構均與采用有限元法計算獲得的結果進行對比。其中，有限元法的實現借助于商業軟件COMSOL Multiphysics，而平面波展開有限元結合法采用文獻[38]中介紹的改進平面波展開法來提高計算精度。 　　2.1 由不同組元材料構成的圓柱狀散射體二元平面無限板類聲子晶體 首先，計算以鉛為散射體橡膠為基體的圓柱狀散射體二元平面無限板類聲子晶體的能帶結構，其晶胞結構如圖2(a)所示。計算所用到的材料參數和幾何參數分別如表1和2所示。 　　圖3給出了計算所得到的該平面無限板類聲子晶體能帶結構。在這里，xy平面內的倒格矢個數取N=(5*2+1)2個，沿z方向單元數取5個。作為對比，圖3同樣給出了用有限元法求得的能帶結構。從圖中可以看出，該聲子晶體在低頻段打開較為寬廣的帶隙。此外，通過對比兩種方法求得的能帶結構，它們幾乎完全吻合。因此，對于散射體為圓柱狀的鉛/橡膠平面無限板類聲子晶體，只需在xy平面內取少量的平面波數以及在z方向取少許的單元數就可以得到相當精確的結果。 　　為了驗證平面波展開有限元結合法對組元材料各異的平面無限板類聲子晶體的適用性，分別計算了散射體為圓柱狀的鋼/環氧樹脂和鋼/鋁平面無限板類聲子晶體的能帶結構，如圖4所示。計算所用到的幾何參數與圖3中算例一致，且材料參數如表1所示。此外，計算所選取的倒格矢個數和單元數也與圖3中算例相同。從圖4(a)中可以看出，鋼/環氧樹脂聲子晶體可以在高頻打開很寬的布拉格散射型帶隙，而圖4(b)則顯示鋼/鋁聲子晶體并未打開帶隙。 　　此外，對比圖3，4(a)和4(b)中兩種方法求得的能帶結構，雖然構成聲子晶體的組元材料不同，但兩種方法計算得到的前幾階能帶均能很好吻合。因此，可以作如下結論：平面波展開有限元結合法可以很好地用來計算不同組元材料構成的平面無限板類聲子晶體。但是圖中也顯示出了高階能帶雖然大致趨勢相同，但還是存在一定差異性，并不能如低階能帶一樣幾乎完全吻合。這可以歸因于平面波展開法與有限元法計算能帶結構時所采用的數值理論不同，前者為空間傅里葉級數展開而后者為單元劃分。這在分別選用平面波展開法和有限元法計算傳統聲子晶體的能帶結構時展現出來的現象是一致的[1]。 　　2.2 散射體為不同形狀的二元平面無限板類聲子晶體 為了驗證平面波展開有限元結合法對散射體為不同形狀的平面無限板類聲子晶體的適用性，計算了散射體為長方體狀的鉛/橡膠平面無限板類聲子晶體(晶胞如圖2(b)所示)的能帶結構，如圖5所示。計算所用的材料參數和幾何參數分別如表1和2所示。 　　從圖5中可以看出，用平面波展開有限元結合法和有限元法這兩種方法所求得的能帶結構在低階基本一致，而在高階則趨勢相同但有所偏差。如上一小節所述，這是由數值方法的基本理論本身決定的，因此平面波展開有限元結合法同樣可以有效地用于計算散射體為長方體狀的平面無限板類聲子晶體能帶結構。綜合圖3和5，可以下結論為：本文提出的方法對散射體截面形狀為矩形和圓形的二元平面無限板類聲子晶體均可適用。 　　2.3 圓柱狀散射體三元平面無限板類聲子晶體 　　為了進一步驗證平面波展開有限元結合法對三元平面無限板類聲子晶體的適用性，計算了由橡膠包覆的鉛圓柱狀散射體埋在環氧樹脂基體中所構成的三元平面無限板類聲子晶體的能帶結構，單胞如圖2(c)所示。計算所用到的材料參數和幾何參數分別如表1和2所示。 　　3 結 論 　　本文針對平面無限板類聲子晶體具備的結構特性，建立了計算其能帶結構的平面波展開有限元結合法，并給出了詳細的公式推導。所有能帶結構均與有限元法計算得到的結果有很好的一致性。此外，給出了三組算例來從多角度討論了該方法的適用性。得到以下主要結論： 　　1)通過對比分析散射體為圓柱狀的鉛/橡膠、鋼/環氧樹脂和鋼/鋁二元平面無限板類聲子晶體的能帶結構，可以下結論為：平面波展開有限元結合法適用于由不同組分材料構成的平面無限板類聲子晶體結構。 　　2)通過對比分析散射體形狀為圓柱狀和長方體狀的二元平面無限板類聲子晶體的能帶結構，可以下結論為：本文提出的方法適用于散射體截面形狀為圓形和矩形的平面無限板類聲子晶體結構。 　　3)通過對比分析散射體為圓柱狀的鉛/橡膠二元平面無限板類聲子晶體和橡膠包裹的鉛/環氧樹脂三元平面無限板類聲子晶體的能帶結構，可以下結論為：本文提出的方法不僅適用于二元，而且適用于三元平面無限板類聲子晶體。 　　所有研究結果均驗證了平面波展開有限元結合法具備強適用性和高精確性，只需少量的單元數和倒格矢個數就可以獲得足夠精確的結果，這為處理這類在xy平面具有周期性而在z方向具有有限性的半無限周期彈性復合結構提供了一個新的方法。但目前該方法只能用于沿z方向xy截面是常量的結構，對更為一般的結構還有待進一步研究。 　　參考文獻： 　　[1] 溫熙森， 溫激鴻， 郁殿龍， 等. 聲子晶體[M]. 北京：國防工業出版社， 2009. 　　[2] Sigalas M， Kushwaha M S， Economou E N， et al. Classical vibrational modes in phononic lattices： Theory and experiment[J]. Zeitschrift für Kristallographie Crystalline Materials， 2005， 220(9)： 765-809. 　　[3] Yan P，Vasseur J O， Djafari-Rouhani B， et al. Two-dimensional phononic crystals： Examples and applications[J]. Surface Science Reports， 2010， 65(8)： 229-291. 　　[4] Wu T T， Wu L C， Huang Z G. Frequency band-gap measurement of two-dimensional air/silicon phononic crystals using layered slanted finger interdigital transducers[J]. Journal of Applied Physics， 2005， 97(9)： 094916. 　　[5] Benchabane S， Khelif A， Rauch J Y， et al. Evidence for complete surface wave band gap in a piezoelectric phononic crystal[J]. Physical Review E Statistical Nonlinear & Soft Matter Physics， 2006， 73(2)： 95-104. 　　[6] Mohammadi S， Eftekhar A A， Hunt W D， et al. High-Q micromechanical resonators in a two-dimensional phononic crystal slab[J]. Applied Physics Letters， 2009， 94(5)： 051906. 　　[7] Sigalas M M， Economou E N. Elastic and acoustic wave band structure[J]. Journal of Sound and Vibration， 1992， 158(2)： 377-382. 　　[8] Zhang X， Liu Z， Liu Y， et al. Elastic wave band gaps for three-dimensionalphononic crystals with two structural units[J]. Physics Letters A， 2003， 313(5)： 455-460. 　　[9] Liu Z， Zhang X， Mao Y， et al. Locally resonant sonic materials[J]. Science， 2000， 289(5485)： 1734-1736. 　　[10] Hirsekorn M， Delsanto P P， Batra N K， et al. Modelling and simulation of acoustic wave propagation in locally resonant sonic materials[J]. Ultrasonics， 2004， 42(1)： 231-235. 　　[11] Wang G， Wen X， Wen J， et al. Quasi-one-dimensional periodic structure with locally resonant band gap[J]. Journal of Applied Mechanics， 2006， 43(1)： 167-170. 　　[12] Yu D， Liu Y， Wang G， et al. Flexural vibration band gaps in Timoshenko beams with locally resonant structures[J]. Journal of Applied Physics， 2006， 100(12)： 124901. 　　[13] Ma J， Hou Z， Assouar B M. Opening a large full phononic band gap in thin elastic plate with resonant units[J]. Journal of Applied Physics， 2014， 115(9)： 093508. 　　[14] Hsu J C， Wu T T. Lamb waves in binary locally resonant phononic plates with two-dimensional lattices[J]. Applied Physics Letters， 2007， 90(20)： 201904. 　　[15] Xiao W， Zeng G W， Cheng Y S. Flexural vibration band gaps in a thin plate containing a periodic array of hemmed discs[J]. Applied Acoustics， 2008， 69(3)： 255-261. 　　[16] Oudich M， Li Y， Assouar B M， et al. A sonic band gap based on the locally resonant phononic plates with stubs[J]. New Journal of Physics， 2010， 12(2)： 201-206. 　　[17] Zhao H J， Guo H W， Gao M X， et al. Vibration band gaps in double-vibrator pillared phononic crystal plate[J]. Journal of Applied Physics， 2016， 119(1)： 377. 　　[18] Li Y， Chen T， Wang X， et al. Enlargement of locally resonant sonic band gap by using composite plate-type acoustic metamaterial[J]. Physics Letters A， 2015， 379(5)： 412-416. 　　[19] Li S， Chen T， Wang X， et al. Expansion of lower-frequency locally resonant band gaps using a double-sided stubbed compositephononic crystals plate with composite stubs[J]. Physics Letters A， 2016， 380(25-26)： 2167-2172. 　　[20] Qian D， Shi Z. Bandgap properties in locally resonantphononic crystal double panel structures with periodically attached spring-mass resonators[J]. Physics Letters A， 2016， 380(41)： 3319-3325. 　　[21] Qian D， Shi Z. Bandgap properties in locally resonantphononic crystal double panel structures with periodically attached pillars[J]. Journal of Theoretical and Applied Mechanics， 2017， 55(4)： 1167-1179. 　　[22] Hou Z， Fu X， Liu Y. Calculational method to study the transmission properties of phononic crystals[J]. Physical Review B Condensed Matter， 2004， 70(1)： 2199-2208. 　　[23] Yan Z Z， Zhang C， Wang Y S. Wave propagation and localization in randomly disordered layered composites with local resonances[J]. Wave Motion， 2010， 47(7)： 409-420. 　　[24] 王 剛， 溫激鴻， 韓小云， 等. 二維聲子晶體帶隙計算中的時域有限差分方法[J]. 物理學報， 2003， 52(8)： 1943-1947. 　　Wang G， Wen J， Han X， et al. Finite difference time domain method for the study of band gap in two-dimensional phononic crystals[J]. Acta Physica Sinica， 2003， 52(8)： 1943-1947. 　　[25] Cao Y， Hou Z， Liu Y. Finite difference time domain method for band-structure calculations of two-dimensional phononic crystals[J]. Solid State Communications， 2004， 132(8)： 539-543. 　　[26] Mei J， Liu Z， Shi J， et al. Theory for elasticwave scattering by a two-dimensional periodical array of cylinders： An ideal approach for band-structure calculations[J]. Physical Review B， 2003， 67(24)： 841-845. 　　[27] Liu Z， Chan C T， Sheng P， et al. Elastic wave scattering by periodic structures of spherical objects： Theory and experiment[J]. Physical Review B， 2000， 62(4)： 2446-2457. 　　[28] Wang G， Wen J， Liu Y， et al. Lumped-mass method for the study of band structure in two-dimensional phononic crystals[J]. Physical Review B， 2004， 69(18)： 1324-1332. 　　[29] 溫激鴻， 王 剛， 劉耀宗， 等. 基于集中質量法的一維聲子晶體彈性波帶隙計算[J]. 物理學報， 2004， 53(10)： 3384-3388. 　　Wen J， Wang G， Liu Y， et al. Lumped-mass method on calculation of elastic band gaps of one-dimensional phononic crystals[J]. Acta Physica Sinica， 2004， 53(10)： 3384-3388. 　　[30] Kushwaha M S， Halevi P， Martínez G， et al. Theory of acoustic band structure of periodic elastic composites[J]. Physical Review B Condensed Matter， 1994， 49(4)： 2313-2322. 　　[31] Kushwaha M S， Halevi P. Stop bands for cubic arrays of spherical balloons[J]. Journal of the Acoustical Society of America， 1997， 101(1)： 619-622. 　　[32] Hsu J C， Wu T T. Efficient formulation for band-structure calculations of two-dimensional phononic-crystal plates[J]. Physical Review B Condensed Matter， 2006， 74(14)： 2952-2961. 　　[33] Xiao Y， Wen J， Wen X. Flexural wave band gaps in locally resonant thin plates with periodically attached spring-mass resonators[J]. Journal of Physics D Applied Physics， 2012， 45(19)： 195401-195412. 　　[34] Orris R M， Petyt M. A finite element study of harmonic wave propagation in periodic structures[J]. Journal of Sound & Vibration， 1974， 33(2)： 223-236. 　　[35] Aberg M， Gudmundson P. The usage of standard finite element codes for computation of dispersion relations in materials with periodic microstructure[J]. Journal of the Acoustical Society of America， 1997， 102(4)： 2007-2013. 　　[36] Eslami M R， Hetnarski R B， Ignaczak J， et al. Variational Principles of Elastodynamics[M]. Theory of Elasticity and Thermal Stresses. Dordrecht：Springer，2013，197： 127-149. 　　[37] Qian D， Shi Z.Using PWE/FE method to calculate the band structures of the semi-infinite beam-like PCs：Periodic in z-direction and finite in x-y plane[J]. Physics Letters A， 2017， 381(17)： 1516-1524. 　　[38] Cao Y， Hou Z， Liu Y. Convergence problem of plane-wave expansion method for phononic crystals[J]. Physics Letters A， 2004， 327(2-3)： 247-253. 本文由期刊論文網首發，一個權威專業的學術論文發表知識網。 文章名稱：平面無限板類聲子晶體結構帶隙計算方法研究