有效市場假說一度是研究資本市場的基石，資本資產定價模型，無套利分析理論都是在該假說的前提下建立的。不過市場上越來越多的異常現象使得有效市場假說面臨挑戰。有效市場假說的一個重要假設是證券價格的變化是獨立的，價格呈現隨機狀態，不會表現出某種規律和趨勢。其收益率變化應該服從正態分布。對市場效率的研究主要集中在價格波動是否無序，市場是否均衡。
然而大量的實證研究表明，現實的資本市場并不是以線性規范對信息做出反應，其價格收益率也不是相互獨立的，一般呈現出尖峰厚尾等特征，是有偏的隨機游走。于是近年來，人們將分形理論、非線性系統理論和分數維理論引入資本市場有效性研究中，突破有效市場假說的限制，一種新的分形市場假說開始興起，有效解決了有效市場假說的局限性和缺陷。
分形概念是由法國數學家曼德爾布羅特提出的。所謂分形，是指部分和整體的形相似。分形具有某種程度上的自相似性和自放射性特征。擋在不同的尺度下進行測量時，其形態、復雜程度和不規則性等特征都有相似性，這種相似性成為標度不變性。
而r/s分析法是由英國水文學家赫斯特提出的，其主要思想是分析重標度累積均值離差的標度行為[1]，是一種研究周期單分形特征的有效工具，能夠判斷時間序列中分形結構的存在。繼赫斯特提出r/s分析方法后，針對短期相關性對測度結果的影響問題，曼徳布特和威廉斯[2]進行了改進，彼得斯[3]也利用一階自回歸的估計殘差對短期依賴性問題進行改進。大量的國外學者研究表明，資本市場價格存在著分形特征。
在我國，對分形市場的研究大部分集中在股市，對匯率方面的此類研究較少。王春峰[4]等應用r/s分析法研究中國股票市場的長期記憶性，得出中國股市具有較明顯的長期記憶性的結論。張曉莉[5]等對我國滬深兩市指數進行周和日收益序列，采用非線性估計方法提高r/s系列分析估計h參數的精確度，結果表明兩市都具有長期記憶效應。楊成義[6]等以中國股市的日收益率為研究對象，通過對r/s 雙對數曲線以及v統計量的的擬合研究，結果表明中國股票市場的收益序列均不服從正態分布，并且呈現出狀態的持續性和長期記憶性，具有明顯的分形特征。楊桂元[7]和陳艷[8]等也得出相似結論。但是，胡章明[9]通過r/s分析對上海股票市場進行分析，得出不一樣的結論，證明在不同的時間階段，其狀態持續性質不同。
在匯率市場方面，戴國強[10]等選擇了1984年至1998年15種主要貨幣對美元每日匯率進行研究, 結果表明匯率波動具有狀態持久性、關聯性、周期性和非線性，并且匯率波動具有穩態特征。孫繼國、伍海華[11]研究了1994年2月20日至2003 年12月31日的人民幣、日元對美元的日匯率數據進行實證分析, 結果表明中日外匯市場均存在著狀態的持續性、關聯性和非線性, 但由于數據不足, 并未估計出統計循環長度。黃飛雪等[12]以我國人民幣對美元、歐元和日元的日匯率中間價數據為研究對象，得出我國人民幣外匯市場具有明顯的分形特征。戎如香[13]以2005 年7 月21 日~ 2008 年3 月12 日銀行間外匯市場六種貨幣兌人民幣匯率數據為樣本, 采用r/ s 分析法對其日收益率序列進行了研究，結果表明六種貨幣兌人民幣匯率均具有非線性特征, 表現為較強的正狀態持久性, 其波動存在明顯的非周期循環。
由以上可知，我國在匯率方面的分形市場研究明顯不足于證券市場，所以本文以2005年7月21日至2010年10月29日的人民幣兌美元匯率，人民幣兌歐元，人民幣兌日元的中間報價為研究對象，對其進行r/s分析，以此判斷我國外匯市場的特征。
匯率市場的分形研究為市場的定量分析提供了一種新的思路，也為其監管和調控提供了新的依據。因為借助于分形和非線性系統理論，一方面可以解釋市場中更多的復雜現象，另一方面對市場波動產生更好的預測效果。所以，本文研究具有一定的現實
r/s分析法又稱重新標度極差分析法，即重標極差分析法，它最大的優勢就是不必假定r/s測度時間序列的分布特征，無論分布是正態的還是非正態的，r/s分析結果的穩健性均不受影響。
（1）將其分成a個長度為n的相鄰子區間，n為n/a的整數部分，分別標記為區間ia（a=1,2……a），則區間ia中的各元素表示為nk,a（k=1,2……n）。
（1）當0≤h<0.5時，c< 0, 時間序列是非持續性的，時間序列具有反持續性，它經常被稱為均值回復的，即如果某一時刻，序列向上（下）變化，那么，下一時刻它反轉向下（上）變化的可能性比較大。h越接近于0，這種突變的變化越大。
（2）當h=0.5時，c=0，時間序列為標準的隨機游走，不同時間的值是不相關的，是有效市場理論所描述的情形。
（3）當0.50，時間序列具有持續性，它經常被稱為分形時間序列，即如果某一時刻，序列向上（下）變化，那么，下一時刻它很可能繼續向上（下）變化。h越接近于1，這種持續性越強。
由式（8）可知，當r/s 統計量與時間長度n 的平方根同步增長時，v的散點圖將是一條水平線；當r/s 統計量增長比n的平方根快時，散點圖出現上升趨勢，即持續性發生，此時的h值大于0.5，也反映出長期記憶性的存在；當r/s 統計量比n 的平方根增長得慢時，散點圖出現下降趨勢，即反持續性發生，此時h值小于0.5，不具有長期記憶性。v統計量的散點圖由一個趨勢變為另一個趨勢的拐點就是平均周期點，該點對應的時間長度就是平均循環周期。
檢驗h指數的顯著性，引入指數的期望值e（r/s）和v統計量的期望值，該期望值是收益率序列隨機游走情況下的期望值，可用于測量序列對隨機游走的偏離。一般情況下采用式9，式10進行計算：
本文選取2005年7月21日至2010年10月29日人民幣兌100美元，人民幣兌歐元，人民幣兌100日元的中間報價日數據，數據來源于外匯網站的統計數據與報告。
設{p t}代表匯率的中間報價序列，p t表示時間t時刻的匯率的中間報價值。則日收益率r（t）可表示為：
相比較與匯率的絕對數變化，投資者更關注收益率的變化，所以本文采用日收益率序列進行r/s分析。
利用eviews對三種匯率的日收益率序列特征進行分析，統計如表1所示，由表可知，人民幣兌美元匯率和人民幣兌歐元匯率的日收益率分布均是左偏的，而人民幣兌日元匯率的日對數收益率是右偏的，這表明三個日收益率均不是圍繞均值對稱分布的。此外三種日收益率的峰度均大于3，在峰值附近集中取值的頻率大于正態分布，呈現尖峰狀態，其中人民幣兌歐元匯率的日收益率的尖峰狀態比較明顯。而且三種匯收益率的jb統計量明顯大于臨界值。所以，匯率的收益率分布遠遠偏離正態分布，進一步利用r/s分析來驗證是否具有分形市場特征。
以人民幣兌美元匯率收益率為例，利用matlab編程計算r/s，e（r/s），v，v（e（r/s）），并以log10取對數做r/s，e（r/s），v，v（e（r/s））四
通過回歸可知，在整個樣本區間內，人民幣兌美元匯率日收益率的hurst指數為0.8230，隨機游走情況下的期望指數為0.5540。由圖1可知，當r/s曲線經過某一個點后開始由線性趨向波動性。這樣導致利用最小二乘法取得的h值誤差很大。所以利用對v統計量的二次擬合，如圖2所示，找到這個轉折點，得出循環區間，在這個區間內對h值進行估計，會提高h值的精確度。
通過matlab求區間最小值，得出在=1.7556時取得最小值。所以人民幣兌美元匯率市場的循環期間大致為57天。取n=10到n=57之間的r/s值進行回歸，如圖3所示，得出h值為0.5501，隨機游走情況下的期望指數e（h）為0.6380。
第一，我國人民幣兌美元匯率，人民幣兌歐元匯率，人民幣兌日元匯率日收益率不滿足有效市場假設，人民幣外匯市場具有明顯的分形市場特征。
第二，人民幣兌日元匯率市場具有長達142天的循環區間長度，人民幣兌歐元匯率市場的循環區間長度為100天，而人民幣兌美元匯率市場的循環區間長度為57天。這表明人民幣兌美元匯率受歷史信息的影響程度較小。
第三，由循環期間長度內擬合的赫斯特指數可知，人民幣兌歐元匯率市場的分形特征比較明顯，人民幣兌日元次之。較低的h指數表明受到噪聲影響的程度較低，也是市場缺乏效率的表現。
第四，v統計量的二次模擬確定循環區間長度對赫斯特指數的精確度提高很有必要。在一個循環區間長度內對赫斯特指數進行估計，其結果可能與整個樣本區間估計有很大不同，但卻是比較精確的取值。
［４］王春峰, 張慶翠, 李剛. 中國股票市場收益的長期記憶性研究[j]. 系統工程,2003,21(1):22-28.
［５］張曉莉，嚴廣樂. 中國股票市場長期記憶特征的實證研究[j]. 系統工程學報,2007,22(2):190-194.
［６］楊成義，王大鵬，劉澄. 基于r/s 分析的中國股市分形結構的實證研究[j]. 北京科技大學學報（社會科學版）,2009,25(1):30-33.
［７］楊桂元，趙宏寶.中國股市收益率和波動率的長記憶性檢驗[j]. 統計與信息論壇,2009,24(6):39-43.
［８］陳艷.我國股市股價動態行為的實證分析[j]. 職教與經濟研究,2007,5(2):19-22.
［９］胡章明.上海股票市場的周期性和長記憶性的實證研究[j]. 現代商業,2006,(2):38-40.
［10］戴國強,徐龍炳,陸蓉.國際匯率波動的非線性探索及其政策意義[j].國際金融研究,1999,(10):9-15.
［11］孫繼國,伍海華.基于r/s方法的中日外匯市場非線性分析[j].統計與決策,2006,(16):70-72.
［12］黃飛雪,趙巖.基于r/s分析的人民幣外匯市場分形特征實證研究 [j]. 哈爾濱工業大學學報,2008,10(6):66-70.
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