“反證法”是數(shù)學中的一種重要的證明方法，不少的數(shù)學問題的證明都要用反證法，但是不少學生對學習反證法感到吃力。這里的原因除了與在證明過程中的其他因素有關外。還有一些阻力是來自學生心理上的障礙。其實心理障礙即使在使用直接證明方法時，也或多或少干擾著學生推理的順利進行。比如，看到兩個三角形相象時，思考過程中就老是受視覺上的支配而不自覺地用這兩個三角形全等作為條件來進行推理。這種來自心理上的障礙雖然老師們都能明顯的感覺到，但通常易把它與來自其他因素的推理障礙相混。沒有在客觀上把清除心理障礙當作突破反證法的教學難點來考慮。
學生的心理結構的發(fā)展過程包括圖式—同化—順應—平衡等四個過程。當一個新知識出現(xiàn)時，學生首先是用舊的認識結構對其進行解釋與吸收，將新知識納入原有的認識結構之中。當原有的認識結構不能解釋，不能容納新知識時，則內(nèi)部系統(tǒng)及對原有認識結構進行重新改組，擴大。使之足以包攝新知識，達到新的平衡。學生在以往學習的只是直接證明方法，推理中的每一步在感知上和邏輯上都不會與原有的知識系統(tǒng)和認識圖形相互矛盾。他們在具體證明某一題目時，只須將題目具體內(nèi)容“同化”到他們原有的認識結構或演繹體系中去。這種感知上與邏輯上的一致性已經(jīng)形成了他們進行演繹推理的心理基礎，成為他們達到心理平衡的依據(jù)。運用直接證明方法時，也有心理障礙存在，但那是由于在錯覺影響下，或在下意識作用下的原因所造成的。而學習反證法時，推理過程中出現(xiàn)的是感知與邏輯上矛盾的情形，與錯覺或下意識是不同的。要使學生真正掌握反證法。不將學生原有的演繹體系提高到更高的層次，也就是進行“順應”的過程，是不可能的。反證法的教學，不應拘泥于教材，宜采取分散難點，逐步滲透，不斷深化的方法。有步驟、有計劃地落實到教學之中，著重培養(yǎng)學生進行形式演繹的能力。
結果，指導學生練習時，一定要突出兩點：一是要將結論的反面當成新的已知條件后，才能由此推出矛盾的結果，否則就不能導致矛盾。二是推理要合乎邏輯，否則即使推出了矛盾后，也不能斷言假設不成立。也就是說在“歸謬”的過程中其推理應是無懈可擊的，其矛盾的產(chǎn)生并非別的原因，只因反設不成立所致。同時，導致矛盾又有如下幾種情況：一是與已知條件矛盾。
3、“結論”的練習：“反證法”中的結論是指最后得出所證命題的結論。教學時，一定要嚴格要求“結論”準確。否則，將前功盡棄。
“反證法”在幾何、代數(shù)、三角等方面都能應用。教學時，為了擴展學生的視野，激發(fā)學生積極性，可適當補充這方面的練習題。另一方面，學生學了“反證法”之后，企圖什么證明題都想用“反證法”來證，結果使一些簡單問題復雜化了，以致弄巧成拙。教學時還應強調(diào)，什么時候用“直接證明法”，什么時候用“反證法”，應依所證命題的具體情況恰當使用。
學生剛接觸“反證法”時，對于此法中根據(jù)排中律而“否定反面，肯定正面”的基本思想感到陌生。教學時，可通過學生已有實踐體會的淺顯的生活方面的事例讓學生逐步領會。開始將“反證法”用于解題時候，也宜于用學生已掌握的而且也是最淺顯的例子引入。
有前面的基礎，就要注意講好每一個具有代表性的例題。特別是重要講好建立新概念或引出新方法時的第一個例題。教學時，宜于運用具體的幾何實例。逐步說明證明的過程，并啟發(fā)學生沿著思維規(guī)律進行思考，得出“反證法”的一般步驟和規(guī)律：
在學生初步領會“反證法”的基本思想，掌握“反證法”的基本方法以后，還應靠足夠的練習來逐步培養(yǎng)學生運用“反證法”證題的能力。練習要有針對性，要重點突出，根據(jù)“反證法”的特點，練習的著重點應放在“反設”、“歸謬”、“結論”三個方面。
1、“反設”的練習：“反設”即為“否定結論”，它是反證法的第一步，它的正確與否，直接影響著“反證法”的后續(xù)部分，學生初學時，往往去否定假設，教學時，應注意糾正。要突出“反設”的含義就是“將結論的反面作為假設”。在思考途徑上可指導學生按以下幾步進行：第一要弄清所證命題的題設和結論各是什么。第二找出結論的全面相反情況，注意不要漏掉又不要重復。第三否定時用“不”或“不是”加在結論的前面，再把句子化簡。
2、“歸謬”的練習：“歸謬”即“假定結論的反面成立，而導致矛盾。”就是說將結論的反面作為條件后，經(jīng)過邏輯推理，導出矛盾的結果，這不但是反證法的主要部分，而且也是核心部分。學生初學時，為宜”。一般來說，用“直接證法”的時候居多，但遇下列情況可考慮用“反證法”。
2、否定性問題：在此類問題中，結論的反面即可能就更為具體，常常可以由此去推出矛盾，從而否定可能，而肯定了不可能。
3、唯一性問題：此類問題中，結論的反面是不唯一的，那么，至少可有兩個不同者，由此去推出矛盾，來否定不唯一，從而肯定唯一。
4、肯定性問題：此類問題中，有個帶肯定性的結論，其反面就是對前者的否定，由此去推出矛盾，從而使問題獲證。
5、某些“無限”問題：在些類問題中，結論的反面是“有限”，它比無限更具體，由它推出矛盾，從而否定有限，而肯定無限。
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